Igen: Tid är nödvändigt för utveckling

Jag har sagt det förut, och jag kommer att säga det igen. Den mest begränande faktorn för skolans utveckling är lärarnas tid. (Åtminstone baserat på de saker jag upplever.)

Fortbildning i all ära, men lärare har redan tusentals idéer om vad man skulle vilja testa att göra annorlunda som kan göra undervisning och bedömning bättre. Det som saknas är tiden.

Och när jag säger tid menar jag inte att skolledningen ska bestämma att två timmar varje vecka läggs till fortbildning och förkovran. Det är en bra start, men om det ska fungera på riktigt ska resten av arbetsbördan vara sån att man får två timmar över varje vecka. När det blir onsdag eftermiddag, och det är dags att ägna sig åt fortbildning, ska man inte känna att det finns 100 prov kvar att bedöma, lektioner att förbereda och kurser att planera. Man ska känna att nu har jag tid över, nu kan jag ägna mig åt det jag vill.

Den dagen lärare känner så kommer det bli en explosion med utveckling och förbättring i skolan.

Men så är det inte idag. Mycket få lärare tar fikapaus. Och här om dan när jag satt ner en halvtimme och åt lunch kändes det som att lunchen var jättelång.

Så jag säger det igen: Av de yrken jag testat hittills är det i läraryrket jag haft sämst förutsättningar att göra det jag kallar för ett bra jobb. Det är sjukt.

Kunskaper i programmering sparar tid

För länge, länge sedan, när jag fortfarande var yster student vid Uppsala universitet, bestämde jag mig för att läsa en påbyggnadsutbildning i journalistik. Jag tänkte att man alltid har nytta av att kunna uttrycka sig, och att veta mer om hur en så mäktig apparat som media fungerar.

Det var en bra investering, men mitt fritidsintresse för datorer och programmering har varit långt mer användbart.

Här om dagen satte jag ihop ett kalkylblad som gör att arbete som tidigare tog en eftermiddag nu tar en halvtimme. Att hantera kunskapsmatriser för mina elever vore nästan omöjligt om jag inte hade skript som hjälper mig att uppdatera många matriser på en gång. Färdigheter i webbutveckling har varit jättenyttiga för att sköta kursplanering på ett bättre sätt. Och att allmänt vara datorvan hjälper mig att hitta och använda verktyg som är kalasbra. Bara en sån sak som att skriva snabbt på ett tangentbord gör att det inte är något hinder för mig att få ner mina tankar på ett papper.

Heja IT-kompetens.

Om bedömning: När ska man kunna något?

En fråga som ofta dyker upp i samband med bedömning av kunskaper är när kunskaperna ska räknas. Det finns så vitt jag vet inga slutgiltiga svar på frågan, men det finns ändå anledning att stöta och blöta den för att bli klokare.

I det här inlägget tänkte jag samla några tankar jag haft kring frågan, och hur jag hoppas på att lösa den.

Vad läroplanen säger

Jag kan inte de exakta referenserna, men läroplan/styrdokument säger följande:

  • Man ska bedöma elevers kunskaper under hela kursen.
  • Betyg ska sättas på de kunskaper eleven har/uppvisar vid slutet av kursen.
  • Man ska göra positiv, inte negativ, bedömning – vilket betyder att man bör se kunskaper som en elev visar snarare än av vad eleven inte visar.

Läs mer

Jag ska pröva något nytt (gammalt)

Efter sportlovet ska jag hålla en ny kurs: matte E. Det är sista varvet för kurser från gamla gymnasiet, så det kommer att vara svårt att återanvända arbete som jag lägger ner på att tolka kursplan och betygskriterier eller göra ett ordentligt genomtänkt kursupplägg.

Istället tänkte jag att jag ska testa något nytt: Att hålla undervisning baserad på boken, köra med vanliga delprov och slutprov, och inte ordna med några matriser. Det kommer att kännas skumt att bara ha grundläggande koll på vad eleverna ska lära sig, och knappt koll alls på vad de egentligen kan. Men jag tänker att det kan vara en bra erfarenhet att ha – vad jag förstår är det många lärare som jobbar så, och det är inte dumt att förstå bättre hur det funkar. (Jag tror att jag kommer att hitta en del förtjänster med det arbetssättet som jag inte tänkt på, och det vore rätt nyttigt för mig.)

Vi får se hur länge min plan håller. (Kursplaneringen är redan klar, och finns på kursplanering.se.)

Två ovanliga förslag för matte 2

(Här är ännu en bloggpost som bara riktar sig till mattelärare. Sorry, alla andra.)

En kille i en av mina mattegrupper läser matte 3c samtidigt som han läser matte 2c, och han har nu fått mig att vilja göra två ändringar för hur jag lägger upp matte 2c.

Den armenska metoden för andragradsekvationer

Det finns en metod för att lösa andragradsekvationer som använder en diskriminant, istället för ”pq-formeln” som är den dominerande i svensk skola. Med den metoden behöver man inte strula lika mycket med minustecken, och man behöver inte heller normalisera andragradsekvationen först (göra koefficienten framför x^2 till 1). Än bättre – man behöver inte krångla i onödan med att ta roten ur bråktal och sedan förenkla.

Metoden är denna:

  1. Ta din andragradsekvation ax^2 + bx + c = 0, och identifiera koefficienterna a, b och c.
  2. Räkna ut diskriminanten för ekvationen, D = b^2 – 4ac.
  3. Är diskriminanten mindre än noll har du icke-reella rötter. Är den noll har du en (reell) dubbelrot. Är den positiv har du två reella rötter.
  4. I fallet med reella rötter kan du räkna ut dem genom x = (-b ±√D) / 2a. Har du icke-reella rötter får du istället ta x = (-b ±i√|D|) / 2a.

Jag tycker att metoden är smidigare och mindre benägen att ge felberäkningar än pq-formeln. Den stora nackdelen, dårå, är alla böcker och alla lärare använder pq-formeln. :-/

Använd derivata för max-/minproblem för andragradsfunktioner

Den gängse metoden för att hitta max-/minvärden för andragradsfunktioner, i matte 2b, är att hitta symmetrilinjen för funktionens graf. Ganska snart kommer man fram till att det är ”-p/2”, där p är den koefficient som används i pq-formeln.

I så gott som alla andra sammanhang använder man derivata för att hitta extrempunkter. Så varför inte göra det även i matte 2, och låta eleverna få en försmak av det som kommer i matte 3?

Jag tror inte att det är lyckat att introducera derivata med allt buller och bång som det innbär, men jag tror lätt att man kan introducera deriveringsreglerna för polynom, och säga att det man får fram är ändringstakten för funktionen. Och där funktionen vänder är ändringstakten noll, vilket ger oss en enkel linjär ekvation att lösa. Häpp!

Jag har inga föreställningar om att det skulle bli någon djupförståelse av vare sig ändringstakt eller deriveringsregler, men jag tror att för de flesta eleverna handlar det ändå om en mekanisk procedur. Kan man då ge ett litet försprång till matte 3, samtidigt som man ger en generell metod för att hitta extrempunkter, så är jag en glad lärare.

Symmetrilinjer – som ingår i det centrala innehållet – kan man ta upp ändå.

Ett par ord om andragradsfunktioner i matte 2

(Förlåt, läsare som inte är mattelärare. Det är fritt fram att hoppa till någon annan bloggpost – allt här handlar om mattekurser.)

Jag undervisar både matte 2b och 2c. En stor del av de kurserna handlar om några typer av funktioner: linjära funktioner, andragradsfunktioner och exponentialfunktioner. Av dessa får exponentialfunktioner minst tyngd, och är egentligen bara med som exponentialekvationer.

Jag tänker argumentera för att det istället är andragradsfunktioner som borde tonas ner, och tänkas om en del.

Linjära funktioner har en tydlig plats i kursen av två skäl. Dels är det en av de enklaste funktionerna man kan tänka sig, vilket är en bra start på att använda funktioner. Dels används linjära funktioner i miljontals olika sammanhang: även om det kan vara svårt att hitta så många naturliga exempel på linjära funktioner kan de flesta samband sägas vara linjära på små intervall (vilket också är hur de hanteras i många modeller). Linjära funktioner är också nödvändiga för att förstå sig på derivata, som är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys.

Exponentialfunktioner är mycket knöligare att räkna på än linjära funktioner, men dyker upp överallt i naturen. Så snart du har någon form av jämvikt (typ) kommer du att få exponentialfunktioner – och det gäller både inom naturliga system (som värmeöverföring eller balanser i ekosystem) som i artificiella system (som ekonomi). Exponentiella förlopp är dessutom lätta att underskatta, vilket gör det ännu viktigare att ta upp dem i skolan.

Andragradsfunktioner, om man får vara lite krass, är svåra att hitta några exempel på. Du får en andragradsfunktion när något har en konstant acceleration – men när du använt fritt fall/kastparabel har du mer eller mindre tömt ut förrådet av naturliga exempel. Kvar blir en rad problemuppgifter i stil med ”en rektangel har arean 50 kvadratmeter och ena sidan är 3 meter längre än den andra”. De är praktiska om man ska träna på andragradsekvationer, men inte så mycket annat. (Och ok, det finns väl några naturliga exempel till att använda – men de är inte lätta att hitta.)

Så varför andragradsfunktioner?

Tidigare har jag tänkt att andragradsfunktioner finns med i matte 2 framförallt för att ge exempel på funktioner som har max- och min-värden, utan att göra saker alltför komplicerade. Och det finns en poäng med det. Men det finns två motpoänger:

  1. I alla böcker jag sett för matte 2 används symmetrilinjer för att hitta max-/minvärden för andragradsfunktioner. Det är en metod som fungerar, men i princip bara för andragradsfunktioner. I det generella fallet använder man derivata, som introduceras i matte 3 – och man behöver aldrig tänka på symmetrilinjer igen.
  2. Det går att använda grafritande räknare för att hitta max-/minvärden för alla möjliga funktioner, vilket gör att man kan introducera extrempunkter utan att behöva knöla till det med andragradsekvationer eller symmetrilinjer.

Allt sammantaget tycker jag inte att andragradsfunktioner och andragradsekvationer ska plockas bort ur matte 2. Det är bra med enkla exempel på funktioner med extrempunkter, och att lösa andragradsekvationer är en nyttig träning i aritmetik. Men de borde tonas ner ordentligt.

Den som har haft nytta av att lösa andragradsekvationer en enda gång utanför skolan får gärna protestera.

Ett skönt synsätt

Jag gör mitt första år som lärare, vilket jag ofta ser som mitt sista år av min lärarutbildning. Mycket av det jag gör som lärare är för första gången – kurser jag planerar, lektioner jag förbereder och genomför, betyg jag sätter, och så vidare.

Rätt ofta tänker jag att det jag gör, gör jag för att kunna göra det bättre nästa gång. Det är ett skönt synsätt. Varför det?

  1. Det hjälper mig att känna att det är ok med misstag.
  2. Det hjälper mig att vara öppen för nya idéer, och reflektera över det jag gör.
  3. Det hjälper mig att få energi att riva upp gamla planer och tankar, och lägga nya spår när jag hittat något som jag tycker verkar bättre.

Den enda nackdelen, dårå, är att det tar mycket energi. Det är motsatsen till att jobba på rutin.