Ett par ord om andragradsfunktioner i matte 2

(Förlåt, läsare som inte är mattelärare. Det är fritt fram att hoppa till någon annan bloggpost – allt här handlar om mattekurser.)

Jag undervisar både matte 2b och 2c. En stor del av de kurserna handlar om några typer av funktioner: linjära funktioner, andragradsfunktioner och exponentialfunktioner. Av dessa får exponentialfunktioner minst tyngd, och är egentligen bara med som exponentialekvationer.

Jag tänker argumentera för att det istället är andragradsfunktioner som borde tonas ner, och tänkas om en del.

Linjära funktioner har en tydlig plats i kursen av två skäl. Dels är det en av de enklaste funktionerna man kan tänka sig, vilket är en bra start på att använda funktioner. Dels används linjära funktioner i miljontals olika sammanhang: även om det kan vara svårt att hitta så många naturliga exempel på linjära funktioner kan de flesta samband sägas vara linjära på små intervall (vilket också är hur de hanteras i många modeller). Linjära funktioner är också nödvändiga för att förstå sig på derivata, som är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys.

Exponentialfunktioner är mycket knöligare att räkna på än linjära funktioner, men dyker upp överallt i naturen. Så snart du har någon form av jämvikt (typ) kommer du att få exponentialfunktioner – och det gäller både inom naturliga system (som värmeöverföring eller balanser i ekosystem) som i artificiella system (som ekonomi). Exponentiella förlopp är dessutom lätta att underskatta, vilket gör det ännu viktigare att ta upp dem i skolan.

Andragradsfunktioner, om man får vara lite krass, är svåra att hitta några exempel på. Du får en andragradsfunktion när något har en konstant acceleration – men när du använt fritt fall/kastparabel har du mer eller mindre tömt ut förrådet av naturliga exempel. Kvar blir en rad problemuppgifter i stil med ”en rektangel har arean 50 kvadratmeter och ena sidan är 3 meter längre än den andra”. De är praktiska om man ska träna på andragradsekvationer, men inte så mycket annat. (Och ok, det finns väl några naturliga exempel till att använda – men de är inte lätta att hitta.)

Så varför andragradsfunktioner?

Tidigare har jag tänkt att andragradsfunktioner finns med i matte 2 framförallt för att ge exempel på funktioner som har max- och min-värden, utan att göra saker alltför komplicerade. Och det finns en poäng med det. Men det finns två motpoänger:

  1. I alla böcker jag sett för matte 2 används symmetrilinjer för att hitta max-/minvärden för andragradsfunktioner. Det är en metod som fungerar, men i princip bara för andragradsfunktioner. I det generella fallet använder man derivata, som introduceras i matte 3 – och man behöver aldrig tänka på symmetrilinjer igen.
  2. Det går att använda grafritande räknare för att hitta max-/minvärden för alla möjliga funktioner, vilket gör att man kan introducera extrempunkter utan att behöva knöla till det med andragradsekvationer eller symmetrilinjer.

Allt sammantaget tycker jag inte att andragradsfunktioner och andragradsekvationer ska plockas bort ur matte 2. Det är bra med enkla exempel på funktioner med extrempunkter, och att lösa andragradsekvationer är en nyttig träning i aritmetik. Men de borde tonas ner ordentligt.

Den som har haft nytta av att lösa andragradsekvationer en enda gång utanför skolan får gärna protestera.

Annonser

3 thoughts on “Ett par ord om andragradsfunktioner i matte 2

  1. Vid lösning av andra gradens ordinära differentialekvationer används det frekvent… Alltså bör man kunna det för att lättare ta till sig stoff i högre kurser. I övrigt tycker jag att det viktigaste är att inse att en rot till ett polynom kan användas för att faktorisera polynomet, det blir väldigt knöligt att göra det med polynom av högre grad än två när man först stöter på det. Resonemanget om linjära funktioner på små intervall är giltigt även för andragradsfunktioner på små intervall, jämför t.ex. med Taylorutvecklingar.

    • Du har ju helt rätt med diffekvationerna, och jag känner mig lite fånig som inte tänkte på det. Och det är rätt häftigt att en av de viktigaste (och vanligaste?) användningsområdena för andragradsekvationer är diffekvationer.

      Tack!

  2. Vad man kanske skulle behöva göra är att tona ner andragradsekvationer ordentligt i matte 2a och 2b, men låta det vara kvar i 2c. Jag har undervisat i två och ett halvt år nu, på flera olika program. Det senaste året har jag haft en klass yrkeselever i matte 2a och de svär och kliar sina huvuden över dessa andragradsekvationer och -funktioner – och jag förstår dem fullständigt. Jag kan verkligen inte motivera var de någonsin kommer att ha nytta av det här. Andragradare kan vara viktigt för de som ska läsa den högre matematiken, men knappast för de som läser något annat än ett naturvetenskapligt program. Jag kan bara hålla med om att exponentialfunktioner bör få betydligt större utrymme då de går att koppla till mycket mer i ”verkliga livet.”

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s