Förståelse. Och färdighet.

När jag planerar eller utvärderar mitt arbete som mattelärare har jag flera gånger kommit tillbaka till att eleverna måste förstå matten. Och de måste också ha stabila färdigheter i hantverket att använda matten.

En elev som inte har förståelse för matten kommer aldrig att kunna tolka verkliga situationer i mattetermer, formulera samband och ekvationer, eller hitta sätt att kombinera olika begrepp och metoder för att lösa problem. För den som inte förstår matematiken kommer den aldrig att bli mer meningsfull än sudoku.

Men det räcker inte att man förstår hur matematiska begrepp hänger ihop. Inte om man faktiskt vill använda matten. Då behövs det också att man kan hantera och bearbeta matematiska formuleringar – de som de flesta skulle kalla ”räkna” (även om det ryms mycket mer än bara aritmetik).

Behovet av prioriteringar

Jag har för lite lektionstid till matten, och de flesta mattelärare skulle nog säga exakt samma sak. (På min skola har vi 84 klocktimmar för en 100-poängskurs, och för matte 1 och 2 har det ”utökats” till 92 timmar i och med att vi inte tar kompledigt för provskrivning utanför lektionstiden.) Den tiden gör det jättesvårt, jättesvårt, att bygga upp elevernas förståelse och färdigheter.

För att göra det lite mer konkret tar jag ett exempel från delområdet ”andragradsfunktioner och andragradsekvationer” i matte 2b. Här är vad vill att eleverna ska förstå och hantera efter avsnittet.

De allra viktigaste färdigheterna

  • Hantera negativa tal i kvadrat. (Ingår i tidigare kurser, men behöver repeteras för många.)
  • Multiplicera parentesuttryck. (Ingår i tidigare kurser, men behöver repeteras för de flesta.)
  • Förenkla algebraiska andragradsuttryck. (Ingår i tidigare kurser, men behöver repeteras för många.)
  • Använda kvadreringsreglerna och konjugatregeln för att utveckla uttryck.
  • Faktorisera algebraiska uttryck genom att bryta ut en gemensam faktor.
  • Använda kvadreringsreglerna och konjugatregeln för att faktorisera uttryck.
  • Lösa ekvationer med nollproduktsmetoden.
  • Lösa andragradsekvationer algebraiskt. (Tämligen komplex färdighet.)
  • Hitta max-/minvärden för andragradsfunktioner. (Tämligen komplex färdighet.)

De allra viktigaste sakerna att förstå

  • Andragradsfunktioner: När de är användbara, att de har extremvärden, att de kan skrivas på olika sätt, hur parabler (deras funktionsgrafer) ser ut, hur funktionsuttrycken hänger samman med parabelns utseende, och mer.
  • Extrempunkter: Vad de är, varför extrempunkter är viktiga, och skillnaden mellan extrempunkter och extremvärden.
  • Faktorisering: Vad det innebär och när det kan vara användbart.

De viktiga (men inte helt nödvändiga) färdigheterna

  • Kvadratkomplettera andragradsuttryck. (Tämligen komplex färdighet.)
  • Hitta (och kunna skriva) symmetrilinjen för andragradsfunktioner.
  • Identifiera extrempunkt från ett kvadratkompletterat andragradsuttryck.
  • Hitta en andragradsfunktion från tre punkter på grafen. (Tämligen komplex färdighet.)
  • Hitta en andragradsfunktion från två punkter och symmetrilinje. (Tämligen komplex färdighet.)
  • Skissa grafer för andragradsfunktioner för hand.
  • Lösa andragradsekvationer grafiskt.
  • Faktorisera generella andragradsuttryck. (Tämligen komplex färdighet.)
  • Hitta komplexa lösningar till andragradsekvationer.
  • Avgöra när andragradsekvationer har komplexa lösningar.

De viktiga (men inte helt nödvändiga) sakerna att förstå

  • Kvadratkomplettering: Vad det innebär och när/varför det kan vara användbart.
  • Symmetrilinje.
  • Dubbelrot: Vad det är och hur det kommer sig att andragradsekvationer kan ha olika många lösningar.
  • Imaginära och komplexa tal: Vad de är, när de kan vara användbara, och grunder i hur man räknar med dem.

Det här blir 9 nödvändiga färdigheter, 3 nödvändiga begrepp, 10 viktiga färdigheter och 4 viktiga begrepp. Det finns inte ett enda av de här som man inte – lätt – kan fylla en hel lektion med, och de saker som är markerade som komplexa kräver i regel mer än en lektion för att eleverna ska ha en rimlig chans att ta till sig dem. I min planering har jag lagt 14 lektioner för hela delområdet, varav två lektioner går till ett delprov. (Jag har delat in kursen i sju–åtta delområden, och andragradsfunktioner är ett av två delområden som får ta mer tid än genomsnittet.)

Prioriteringar

De flesta av eleverna jag har i matte 2b tycker att matte är svårt och jobbigt, och jag blir tvungen att prioritera jättehårt i vad vi ska fokusera på under lektionerna. Ibland tänker jag att det viktiga är att eleverna får fundera kring och diskutera de matematiska begreppen, bli klokare på vad de verkligen betyder och hur de hänger ihop. Och andra dagar tänker jag att vi måste träna, träna, träna på räknefärdigheterna – så att eleverna får chans att känna att de inte bara klarar av att räkna på saker, utan att det faktiskt blir enkelt.

Och så hoppar jag, fram och tillbaka. Mer förståelse, mindre färdighet. Mer färdighet, mindre förståelse. Och ibland tänker jag att jag borde ge tre av kursens delområden 80% av lektionstiden, så att man åtminstone kan göra några saker ordentligt. Men det vore att slakta de andra delområdena. Och ibland tänker jag att jag borde ge eleverna strikta läxor, där de ska räkna så mycket hemma att de får rutin på färdigheterna. Men så vet jag att det inte kommer att funka för de som verkligen behöver det.

Så vad gör man?

Advertisements

One thought on “Förståelse. Och färdighet.

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s