Kvadratkomplettering istället för pq-formeln

I matte 2 ingår att hantera andragradsuttryck på ett antal olika sätt – att lösa andragradsekvationer, rita och tolka parabler, hitta och klassa extrempunkter för andragradsfunktioner, och mer. Avsnittet uppfattas allmänt som ett av de svåraste i kursen (tillsammans med exponentialekvationer).

Två av de viktigaste – och ofta svåraste – momenten i avsnittet handlar om att lösa andragradsekvationer och att hitta max- eller minpunkter för andragradsfunktioner. Alla svenska läromedel jag sett baserar de två momenten på en formel som i folkmun kallas pq-formeln. pq-formeln är en metod som blivit så befäst att den sällan ifrågasätts, men det är precis vad jag tänkte göra. Jag tänkte också lyfta fram en annan metod, som (IMHO) gör det lättare att förstå och hantera andragradsuttryck – utan att det blir svårare.

Mindre bra saker med pq-formeln

Först ett par mindre snälla ord om pq-formeln.

Nackdel 1: Den kräver normerade ekvationer. pq-formeln används bara för att lösa ekvationer på formen x² + px + q = 0; den kräver att man bearbetar andragradsekvationer så att det inte finns någon koefficient framför x²-termen. Det är ett steg som elever ofta missar, förmodligen för att man så ofta tränar på ”enkla” andragradsekvationer som är tillrättalagda för just pq-formeln.

Nackdel 2: Den berör bara ekvationer. pq-formeln är till för att just lösa andragradsekvationer, inte att hantera andragradsuttryck i allmänhet. Många elever missuppfattar formelns användningsområde, och förenklar exempelvis f(x) = 2x² + 10x – 5 till f(x) = x² + 5x – 2,5; eftersom de vill ”dela bort” termen framför x².

Nackdel 3: Den rymmer många möjligheter till misstag. pq-formeln säger att ekvationen x² + px + q har lösningarna x = -p/2 ± √((p/2)² – q). Själva formeln innehåller flera steg där elever lätt gör missar: negativa p och q blir lätt positiva, rotuttrycket beräknas gärna för en term i taget, och divisionen med två tappas gärna bort. I sig själv innehåller pq-formeln så många steg att svaga elever har svårt, ibland mycket svårt, att få alla stegen rätt genom en hel beräkning.

Nackdel 4: Den kräver ofta att man förenklar rotuttryck. I de lägen som man måste normera ekvationen – ”dela bort” koefficienten framför x² – kommer man i många lägen att hamna i lösningar som innehåller saker som √(1/9), vilket man bör förenkla till 1/3. Metoden i sig gör att man blir tvungen att först kvadrera och sedan hitta kvadratroten, vilket skapar extra arbete och nya möjligheter att göra fel. Dessutom dyker det upp bråkräkning, vilket många elever tycker är extra jobbigt.

Nackdel 5: Den upplevs som magi. Den tyngsta nackdelen är att pq-formeln upplevs som magi – eleverna förstår inte varför den fungerar, utan lär sig bara att följa ett antal beräkningssteg. Det medför dels att de inte har en chans att märka om något blir galet halvvägs genom beräkningarna, dels att matematik reduceras från mönster och samband till mekaniskt räknande.

Finns det alternativ?

I de flesta länder används inte pq-formeln. I Armenien, Frankrike, USA (och säkert en hel del andra länder) används en metod där man räknar ut en ”diskriminant” från en mer allmän andragradsekvation; ax² + bx + c = 0. Från den diskriminanten kan man sedan se hur många lösningar ekvationen har, och hitta lösningarna.

Diskriminantmetoden slipper många av de nackdelar som pq-formeln har – den är mer allmän, den delar upp beräkningarna i tydliga mellansteg, och man slipper förenkla rotuttryck i onödan.

Men den metod jag tänker lyfta handlar om kvadratkomplettering. Kvadratkomplettering är, precis som diskriminantmetoden, vanlig utomlands – och den dyker även upp i senare mattekurser här i Sverige. Kvadratkomplettering är nödvändig för att hantera en del jobbigare algebraiska uttryck, och det är också den metod som ligger bakom både pq-formeln och diskriminantmetoden.

Kvadratkomplettering genom ansättning

Kvadratkomplettering innebär att man skriver om ett andragradsuttryck från standardform [exempelvis 2x² + 12x – 5] till en kvadrat plus en konstant [exempelvis 2(x + 3)² – 23]. När man väl har de två uttrycken är det relativt lätt att se att de är samma, men det kan vara svårt att från ett ”vanligt uttryck” [ax² + bx + c] hitta hur det ser ut på kvadratkompletterad form [a(x + d)² + e].

Den metod för kvadratkomplettering som används i svenska läromedel (vad jag sett) kräver att man håller ganska många steg i huvudet, vilket jag antar är anledningen att den ligger så pass sent i mattekurserna.

Den metod jag testat att använda i två klasser går istället ut på att man ansätter ett allmänt kvadratkompletterat uttryck [a(x + d)² + e], och sedan jämför termerna mot uttrycket man vill kvadratkomplettera för att se vad värdena på a, d och e måste vara. Resultatet blir tre (eller bara två) enkla linjära ekvationer, som elever sedan tidigare vet hur man löser.

Kvadratkomplettering med ansättning har en rad fördelar framför pq-formeln (och även diskriminantmetoden).

  • I kvadratkompletterade andragradsfunktioner kan man direkt läsa ut x- och y-värde för extrempunkten.
  • Man kan också se på kvadratkompletterade andragradsfunktioner hur deras grafer ser ut – parametrarna i det kvadratkompletterade uttrycket hänger samman med egenskaper hos parabeln.
  • Med kvadratkompletterade uttryck går det att lösa andragradsekvationer i korta och tydliga steg, utan att något av stegen blir magi.
  • Ansättning är en metod som används (och är användbar) i andra delar av matematiken, även matten man läser på gymnasiet.
  • Ansättningen gör att man kan kvadratkomplettera utan att behöva göra flera steg i huvudet, och även svaga elever har en god chans att klara att lära sig metoden.

Och vad är nackdelarna?

Jag har testat att använda den här metoden i två klasser, hittills. Det känns som att det funkar bra – en del elever tycker att det är knöligt och krångligt, men de allra flesta tar sig över tröskeln och jag upplever att det är lättare (särskilt för svaga elever) att ta till sig kvadratkomplettering med ansättning än att lära sig pq-formeln. Särskilt om man vill hitta extrempunkter för andragradsuttryck.

Den största nackdelen är, tyvärr, att metoden går mot strömmen. Böcker, andra lärare och nationella prov utgår från att det är pq-formeln som används. Uppgifter är tillrättalagda för att fungera med pq-formeln, och formelbladet för nationella provet innehåller pq-formeln men inget som ger stöd för kvadratkomplettering.

För de flesta av mina elever är det inget problem, men de svagaste eleverna skulle få  mycket hjälp om ytterligare ett samband fanns med i formelbladet:

a(x + d)² + e = ax² + 2adx + ad² + e

I formelbladet finns redan kvadreringsreglerna och konjugatregeln, och så pq-formeln. Det känns lite elakt att leda in mina elever på en väg där de inte får stöd av formelbladet på nationella provet, men jag tänker att det hjälper dem att faktiskt förstå hur de kan hantera andragradsuttryck lite mer på djupet. Och så tänker jag att om ingen vågar lämna det upptrampade pq-spåret kommer Mattesverige att sitta kvar där i 50 år till.

Om du tycker att det är rimligt att lägga till sambandet ovan i formelbladet får du gärna skriva en kommentar på bloggen. Det kan göra det lättare att påverka.

Vill du se lite mer om hur jag jobbar med andragradsuttryck kan du kolla in min planering, fritt tillgänglig på kursplanering.se.

Advertisements

6 thoughts on “Kvadratkomplettering istället för pq-formeln

  1. Jag föredrar personligen pq-formeln, ffa för att jag upplever att den är lätt för eleverna att lära sig (att man måste normera ekvationen är ju inte konstigare för dem än det är att utföra en massa andra operationer med vänster och höger led, som ju är brukligt vid ekvationslösning). Jag ser alls inget hinder att lägga till ett stöd för kvadratkomplettering, för den som föredrar den metoden. På egna prov och till vardags är det väl inte värre än att man låter eleverna skriva till den på formelbladet. Jag kan faktiskt inte heller se något hinder att de har tillgång till den på NP – det förändrar ju alls inte svårighetsgraden på provet att man lägger till något som är likvärdigt med “pq-formel-formeln” på bladet.

  2. Vill även tillägga att jag inte generellt är någon stor anhängare av procedurkunskap av typen “pq-formel”, men att jag i just det här fallet tycker att det kan få vara en ren procedurkunskap. Jag delar din uppfattning att det är problematiskt att elever ibland dividerar ett uttryck för att de blandar ihop det med en ekvation, men jag bearbetar hellre problemet genom att belysa och diskutera varför det är tillåtet att när som helst dela vänster och höger led i en ekvation, men varför man inte helt plötsligt får göra samma sak med ett uttryck. Samma typ av problematik som skillnaden mellan att förlänga respektive multiplicera ett bråk med ett heltal – det ena kan man göra så fort man har lust, men det andra måste man ha goda skäl till :).

  3. Jag använde pq-formeln genom hela gymnasiet och bytte sedan till kvadratkomplettering på universitetet.

    Jag tycker helt klart att kvadratkomplettering har sina poänger, men hur hanterar svaga elever det algebraiska manövrerande som krävs? Kan man inte normera en andragradsekvation borde man väl ha stora problem med en kvadratkomplettering också, eller?

    • Alla elever jag träffat på (hittills) klarar av att normera andragradsekvationer – problemet är att (1) de glömmer bort det, (2) att de gör det vid fel tillfällen, och (3) att det ibland skapar onödigt jobb.

      Min erfarenhet (hittills) är att elever klarar av att kvadratkomplettera exempelvis -2x² + 12x – 5 om det innebär att lösa de här tre ekvationerna:
      a = -2
      2ad = 12
      ad² + e = -5

      Min erfarenhet är också att även svaga elever klarar av att lösa andragradsekvationen -2(x – 3)² – 13 = 0; och förstå varje steg i lösningen. De klarar också av att titta på funktionen f(x) = -2(x – 3)² – 13 och berätta var extrempunkten ligger, och motivera varför den ligger just på (3, -13).

      Visst kräver det en del tragglande att bli van vid att hitta parametrarna a, d och e – men inte mer tragglande än vad pq-formeln kräver. Och vinsten är att eleverna sedan kan lösa ekvationer och hitta extrempunkter – och förstå vad de gör – samtidigt som de lärt sig kvadratkomplettering och dessutom börjat nosa på ansätting som metod inom matematiken.

  4. Ping: Alternativt upplägg för andragradsuttryck: anteckningar för workshopen i Mullsjö | Att bli lärare

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s