En metod för att konkretisera gymnasiets matematikkurser (renskriven)

Den här bloggposten finns också som ett Google-dokument, som har bättre struktur och är lättare att läsa. Dessutom är Google-dokumentet uppdaterat, medan bloggposten är mer eller mindre oförändrad.

Jag hoppas att det går att inspirera mattelärare i Sverige till att använda en gemensam metod för att konkretisera och beskriva våra mattekurser, så att vi kan diskutera dem tillsammans på ett mer kraftfullt sätt.

Gå gärna till Facebook-gruppen Matematikundervisning om du vill diskutera!

Om det här dokumentet

Styrdokumenten för Lgy11 (och även Lgr11) togs fram under stark tidspress, och med direktiv som ändrades under arbetets gång. En följd av det är att det inte alltid är lätt att tolka det centrala innehållet och kunskapskraven, och hur de två hänger samman – vilket gör det svårare att planera kurser, planera undervisning, och att göra ett sakligt och metodiskt arbete med betygssättning.

För att underlätta lärarens arbete krävs att kursplanerna tolkas och konkretiseras. Ett sådant arbete är också ett utmärkt tillfälle att diskutera tillsammans med kollegor, och få mer samstämmig syn kring kursinnehåll och kunskapskrav. Tyvärr kan det också vara mycket tidskrävande, och ofta blir det kursboken som får stå för konkretiseringen.

Det här dokumentet innehåller en metod för att konkretisera gymnasiets matematikkurser. Metoden har tillräckligt fasta ramar för att en konkretisering ska gå relativt fort att genomföra, men tillräckligt stora friheter för att ge rum åt meningsfulla och diskussioner om hur en kurs bör tolkas.

Metoden är fortfarande under utveckling. Om du använder den får du gärna berätta om dina erfarenheter till Johan Falk, lärare på Rudbeck i Sollentuna, på mail johan@vaxjonexus.com. Du kan även diskutera den här metoden (och andra saker) på facebook.com/groups/matematikundervisning.

Några fördelar med den här konkretiseringsmetoden

Här är några av de fördelar som jag upplever med det här sättet att konkretisera kursplaner.

  • Med ett konkretiserat innehåll går det lättare att planera kursupplägg, och prioritera vad man vill lägga mer tid på.

  • Med en konkretiserad kursplan går det lättare att utforma prov och andra examinationer, och det går lättare att bedöma dem.

  • Elever får bättre överblick av vad som ingår i kursen, och får därmed möjlighet att ta större ansvar för sitt lärande.

  • Med ett konkretiserat innehåll går det lättare att sätta en tydlig lägsta acceptabel kunskapsnivå.

  • Med bedömningsmatriser kan man samla betygsunderlag även mellan provtillfällen.

  • Med bedömningsmatriser går det lättare att göra kunskapsbedömningar som ligger nära kursplanen.

  • Med en konkretiserad kursplan blir det lättare att reflektera kring centralt innehåll, kunskapsnivåer och bedömning – och att diskutera dessa saker med kollegor.

Den enda kännbara nackdelen är att bedömning (och därmed lärande) kan bli för atomiserat – man måste se upp så att man inte låter eleverna lära sig något, och sedan glömma bort det så snart de visat att de kan det. Det är ett problem som bara är relevant om du använder metoden även för bedömning (och det har skett flera ändringar i metoden för att minska den här risken).

Exempel på konkretiseringar

Här finns några exempel på konkretiseringar som man kan hämta inspiration från, eller använda för att förstå vad den här metoden går ut på.

  • Matematik 1b: En matris som gått igenom ett par vändor med revideringar och förbättringar, men ännu inte är klar, finns att hitta här: Matris för matematik 1b (underhålls framförallt av Bodil Holmström, Rudbeck, Örebro)

  • Matematik 2b: En matris som gått igenom flera vändor med revideringar och förbättringar finns att hitta här: Skiss på ny kunskapsmatris, matte 2b (underhålls framförallt av Johan Falk, Rudbeck, Sollentuna.)

  • Matematik 2b: En lista över centralt innehåll uppdelat i centrala begrepp, centrala procedurer, övriga begrepp och övriga procedurer finns här: Konkretisering av kursplan för matematik 2b (MATMAT02b)

Förslag på arbetsflöde

Om du vill använda den här metoden för att konkretisera en eller flera mattekurser föreslås det här arbetsflödet:

  1. Läs igenom hela det här dokumentet.

  2. Boka in två träffar med kollegor som kommer att undervisa den kurs du vill konkretisera. Två timmar per träff bör räcka, och det är en fördel om de inte är samma dag.

  3. Undersök om någon annan har konkretiserat samma kurs förut (exempelvis genom att fråga på facebook.com/groups/matematikundervisning.)

  4. Genomför första mötet, med följande fokus:

    1. Efter mötet ska alla ha en uppfattning om huvuddragen i konkretiseringsmetoden.

    2. Efter mötet ska alla ha en uppfattning om på vilka nivåer man kan använda konkretiseringen av kursplanen.

    3. Efter mötet ska alla vara överens om att åtminstone använda konkretiseringen för att förtydliga kursens innehåll, samt vilka procedurer och begrepp som räknas som centrala. (Man behöver inte bestämma gemensamt om man exempelvis vill använda metoden för bedömningar och betygssättning.)

    4. Utgå från kursplanen och bygg en första lista över begrepp och procedurer som ingår i kursen.

    5. Om det finns tid: Börja dela upp begrepp och procedurer i centrala och övriga (samt förkunskaper).

  5. Genomför andra mötet, med följande fokus:

    1. Använd kursboken och eventuella konkretiseringar från andra lärare för komplettera era listor över begrepp och procedurer.

    2. Dela upp begrepp och procedurer i centrala och övriga (samt förkunskaper).

    3. Förtydliga begrepp och procedurer: sätt bättre rubriker, slå samman, dela upp…

    4. Om det finns tid: Gruppera och byt ordning på begrepp och procedurer så att de följer den ordning som de flesta lärare använder i sitt kursupplägg.

    5. Bestäm om ni vill försöka ha fler gemensamma träffar, för att eventuellt arbeta vidare med konkretisering, bedömning, eller något annat relaterat till konkretiseringsarbetet.

  6. Renskriv den färdiga listan över begrepp och procedurer till en lättläst matris, och dela med alla berörda lärare.

  7. Lärare bearbetar en kopia av matrisen så att ordning och grupperingar stämmer med ens eget kursupplägg. (Detta kan man göra på egen hand, om det är svårt att få till fler gemensamma träffar.)

  8. En lärare blir ansvarig för att ta emot framtida tankar om hur matrisen kan/bör förbättras till nästa gång kursen ges. Förslagsvis genomförs också en eller två utvärderingar för att höra hur konkretiseringsarbetet och dess resultat upplevs. (Utvärderingar behöver förstås inte vara enkäter, utan kan vara fyra minuter fri diskussion.)

  9. Samma lärare är också ansvarig för att se till att konkretiseringen tas upp inför nästa kursstart, så att den kan revideras och förbättras både till innehåll och form. (Fråga gärna på facebook.com/groups/matematikundervisning om det skett någon övergripande förändring av metoden.)

Olika nivåer man kan använda metoden på

1: Begrepp och procedurer, centralt och övrigt

När man konkretiserat en kursplan med den här metoden har man en förteckning över kursens innehåll i termer av begrepp och procedurer. Dessa är uppdelade i olika avsnitt, som stämmer överens med det upplägg man har för kursen, och de är också uppdelade i centrala begrepp/procedurer och övriga begrepp/procedurer. Sammantaget får man alltså en lista med avsnitt som finns i kursen, och för varje avsnitt finns en förteckning över vilka begrepp och procedurer som är centrala, och vilka övriga begrepp och procedurer som ingår i det avsnittet.

Att göra dessa listor är det mest grundläggande sättet att använda metoden, och om man vill kan man stanna här.

2: Bedömning – procedurer, problemlösning och modellering

Det går att använda metoden även för att göra kunskapsbedömningar av procedurer, problemlösning och modellering. De principer som metoden sätter upp är:

  • En elev ska hantera samtliga centrala procedurer när de presenteras som avskalade standarduppgifter. (Detta motsvarar alltså procedurkunskaper på E-nivå, vilket är viss skärpning mot styrdokumenten.)

  • Problemuppgifter på E-nivå kräver bara centrala begrepp och centrala procedurer; och går antingen att lösa i ett eller högst två steg, eller liknar tidigare uppgifter. (Att lösa sådana problemuppgifter motsvarar problemlösningsförmåga på E-nivå.)

  • Problemuppgifter på C- och A-nivå kan även omfatta övriga begrepp och procedurer, kräver i regel att man kombinerar flera begrepp/procedurer, och kan kräva att man formulerar resultat i generella termer. (Att lösa sådana problemlösning kan motsvara problemlösningsförmåga på C- och A-nivå, beroende på hur de löses.)

  • Problemlösningsförmåga bedöms för varje avsnitt i kursen. Man måste visa E-nivå i alla avsnitt för att problemlösningsförmågan i kursen ska anses ligga på E-nivå. (Detta är en viss skärpning mot styrdokumenten.) Man måste inte visa A-nivå i alla avsnitt för att problemlösningsförmågan i kursen ska anses ligga på A-nivå.

  • Procedurfärdigheter bedöms inte på C- och A-nivå – de ingår istället som en del av problemlösningsförmågan.

  • Modelleringsförmåga bedöms inte separat – det ingår istället som en del av problemlösningsförmågan.

Att problemlösningsförmåga får utgöra en så stor del av vad som bedöms beror dels på att problemlösning kan rymma många andra förmågor, dels på att bedömning av fristående procedurer kan uppmuntra för mycket till memorerande och ytinlärning.

3: Bedömning – resonemang och kommunikation

De två förmågorna resonemang och kommunikation är svåra att separera i kunskapskraven, och den här metoden väljer istället två andra rubriker för bedömning: redovisning och mattespråk.

  • Redovisning är förmåga att uttrycka matematiska tankegångar (i tal, skrift, eller något annat sätt). Det som utmärker en bra redovisning är att den är tydlig, det vill säga går lätt att förstå och följa.

  • Mattespråk är förmåga att använda notation, bilder, termer och andra delar av det matematiska språket på ett korrekt sätt. Det som utmärker bra mattespråk är att det är korrekt.

Med den här metoden bedöms redovisning och mattespråk endast på ett övergripande plan: Det är förmågor som kursplanen uttrycker dem, där man kan säga att en elev visar en ”allmän” förmåga i redovisning (till skillnad från exempelvis problemlösning, som bedöms per avsnitt). Det betyder exempelvis att enskilda uppgifter på ett prov inte har vissa redovisnings- eller mattespråkpoäng, men man kan ge ett omdöme om redovisning respektive mattespråk för ett helt prov.

Bedömningskriterier för redovisning och mattespråk är:

  • Redovisning:

    • E-nivå: Redovisning går att följa för någon som är insatt.

    • C-nivå: Redovisningen går att följa för någon som inte är insatt, eller går lätt att följa för någon som är insatt.

    • A-nivå: Redovisningen går lätt att följa för någon som inte är insatt.

  • Mattespråk:

    • E-nivå: Det finns inga allvarliga formella fel i hur mattespråket används.

    • C-nivå: Det finns endast obetydliga fel i hur mattespråket används.

    • A-nivå: (inga ytterligare kriterier – automatiskt uppfyllt när man når C-nivå)

Det rekommenderas att redovisning och mattespråk framförallt bedöms i samband med problemlösning. All bedömning bör inte baseras på skriftlig problemlösning.

4: Bedömning – begreppsförståelse och relevans

Den här metoden omfattar inte bedömning av begreppsförståelse och relevansförmågan (ännu). Ett förslag är att bedöma dessa förmågor muntligt.

5: Löpande bedömningar och egenbedömningar

Sista steget i att använda de här metoden är att använda de matriser metoden ger för att göra löpande bedömningar av de kunskaper som elever uppvisar, och att även låta elever använda matriserna för att bedöma sina egna kunskaper. De här delarna ingår:

  • Varje elevs matris bör finnas i elektronisk form, så att både lärare och elev kan komma åt den när som helst.

  • Eleven ska ha en version av matrisen som eleven själv kan redigera, för egenbedömning. Läraren ska ha en version som bara läraren kan redigera, för att samla betygsunderlag.

  • Resultat från prov och andra examinationer ska samlas i matrisen. Det betyder att examinationer måste utformas för att passa med de kriterier som finns i matrisen.

  • Betyg och betygsprognoser utgår alltid från matrisen, inte exempelvis från enskilda prov. Idealt ska eleven själv kunna ge en betygsprognos, och säga vilka områden som är viktigast att jobba med för att nå ett högre betyg.

  • Nationella prov ses snarare som en bekräftelse på ett tidigare känt betygsläge än som ett slutprov som avgör betyget. Om resultat på nationella prov stämmer dåligt med det betyg en matris visar bör man se vilka kunskaper eleven visar och utgå från dem vid betygssättning. Om nationella provet visar på kunskapsbrister inom ett enskilt avsnitt bör eleven erbjudas att komplettera i det avsnittet. Om kunskapsläget visar att en viss förmåga drar ner betyget kraftigt kan eleven erbjudas att komplettera för den förmågan.

Om det ska fungera att samla betygsunderlag löpande under en kurs måste det finnas möjlighet att elever inte bara visar att de kan saker, utan också att bedöma när de inte längre kan något. Därför finns även dessa förslag:

  • Prov och andra examinationer bör inte uteslutande fokusera på ett avsnitt i taget, utan ta med uppgifter från tidigare avsnitt.

  • En elevs problemlösningsförmåga på ett avsnitt bör bedömas framgångsrikt mer än en gång för att räknas till den sammantagna problemlösningsförmågan på kursen.

  • Färdigheter i att hantera centrala procedurer i tidigare avsnitt kan kontrolleras genom att använda extremt enkla procedurfrågor, där ett felaktigt svar säger mer än ett korrekt svar (exempelvis ”är x = -2 en lösning till x2 = 4?”). Dessa frågor tillåter att läraren drar säkra slutsatser om att eleven inte kan något, till skillnad från att eleven inte visat att han/hon kan. Samtidigt är det frågor som tar extremt lite tid i anspråk för elever med adekvata kunskaper.

Det är värt att nämna att det krävs bra verktyg om man vill sköta löpande bedömningar på det här viset utan att dränkas i administrationsarbete. Ett verktyg som kan underlätta arbetet avsevärt är StudentMatrix (se https://github.com/Itangalo/studentmatrix), som bygger på Google Drive och är gratis.

Steg för att konkretisera en kursplan

Stegen för att konkretisera en kursplan med den här metoden är i princip dessa.

  1. Utgå från kursplanen för att skapa en lista med begrepp och procedurer.

  2. Dela upp begrepp och procedurer i centrala och övriga (samt förkunskaper).

  3. Försök hitta saker som du missat.

  4. Förtydliga begreppen och procedurerna (samt förkunskaperna).

  5. Gruppera och ordna dem i en matris som avspeglar ditt kursupplägg.

Det som gör metoden lite knepigare är att steg 2–4 (och eventuellt steg 5) går in i varandra mycket. När du arbetar med dem bör du inte bara gå fram och tillbaka mellan dem, utan hålla på med flera av dem samtidigt.

Steg 1: Analysera det centrala innehållet

Som lärare är det lätt hänt att man utgår från en kursbok när man vill få grepp om vad en kurs innehåller. En kursbok är trots allt lättare att läsa och förstå än kursplanerna för matematik, och troligtvis är man också lagt mer tid på att bläddra i boken än att läsa i kursplanen. I den här metoden är det viktigt att du börjar med kursplanen, och inte en kursbok. Den främsta anledningen till det är samtliga böcker jag sett har avsteg från kursplanen – hela avsnitt som finns i boken men saknas i kursplanen eller, vilket är rätt allvarligt, delar av det centrala innehållet som är missuppfattat eller över huvud taget inte med i kursboken.

En annan anledning att börja med kursplanen, och inte en kursbok, är att det är kursplanen som bestämmer vad som ska ingå i en kurs. Om man är osäker på om man ska ta upp ”logaritmer med annan bas än 10” i en kurs är det kursplanen, och inte kursboken, som ger svaret.

Om du utgår från kursboken när du analyserar innehållet i en kurs riskerar du att ärva de uppfattningar som bokförfattaren hade och missa vissa aspekter i det centrala innehållet. Om du utgår från kursplanen kräver det mer tankearbete, eftersom den är svårare att tolka, men du får ett bra verktyg för att förhålla dig kritisk till kursboken – och blir bättre insatt i viktiga styrdokument.

I alla fall: Det första steget går ut på att punkt för punkt gå igenom det centrala innehållet i kursplanen, och skriva ner alla begrepp och alla procedurer som gömmer sig där.

Bästa sättet att skriva ner dem är förmodligen i ett kalkylblad, eftersom du kommer att vilja ha materialet i ett kalkylblad förr eller senare ändå. Håll separata listor för begrepp och procedurer, och använd gärna huvudrubriker för olika avsnitt i kursen/det centrala innehållet. (Om du planerar att dela matriser med dina elever är kalkylblad skapade genom Google Drive ett extra bra alternativ.)

Exempel från matte 2b: I det centrala innehållet står ”Begreppet logaritm i samband med lösning av exponentialekvationer”. Här kan man hitta begreppen logaritm, exponentialekvation, exponent, potens, bas och kanske även exponentialfunktion. Procedurer som gömmer sig är exempelvis lösa exponentialekvationer, identifiera enkla 10-logaritmer, hantera räkneregler för logaritmer, och hantera logaritmer för andra baser än 10.

Steg 2: Dela upp i centrala och övriga (samt förkunskaper)

Nästa fråga är: Vilka saker måste man kunna när man är klar med kursen? Vissa saker är helt enkelt viktigare än andra saker, och att markera detta är en bra hjälp både för elever och lärare.

Gå igenom listan med begrepp och procedurer, och fråga dig: Vore det ok att godkänna en elev som inte kan det här? Om svaret är ”nej” har du hittat ett centralt begrepp eller en central procedur. Annars hamnar det i gruppen ”övrigt”.

Ibland stöter man på begrepp och procedurer som elever ska kunna efter kursen, men som de borde ha med sig redan när de kommer till kursen. Om man kan räkna med att alla elever faktiskt kan detta kan du bara stryka den punkten. Om erfarenhet däremot visar att många elever inte hanterar de sakerna, flytta dem till en egen grupp med ”förkunskaper”. Det gör det lättare att komma ihåg att det är saker man kan behöva gå igenom, och lättare för elever att veta vad de behöver träna på – men riskerar inte att blandas samman med sådant som kan användas som betygsunderlag i kursen.

När du är klar med steg 2 har alla begrepp delats upp i centrala och övriga, och samma sak har hänt med procedurerna. Vissa kan ha flyttats till förkunskaper istället.

Det är oerhört värdefullt att diskutera med kollegor i det här steget. Det är också bra att ha tillgång till kursplaner för tidigare kurser (eller grundskolan) när man vill avgöra om något bör klassas som en förkunskap eller linte.

Exempel från matte 2b: Begreppen logaritm och exponentialekvation klassas som centrala, medan exponentialfunktion klassas som övrig eftersom det centrala innehållet egentligen inte tar upp exponentialfunktioner. Begreppen exponent, potens och bas markeras som förkunskaper, eftersom det är begrepp som ingår i matte 1b.

Steg 3: Hitta saker du missat

Under tiden som du delar upp begrepp och procedurer i centrala respektive övriga kommer du oundvikligen att komma på saker som du missat. Lägg till dem efter hand, och lägg in dem direkt som centrala/övriga (eller eventuellt förkunskaper).

Ett bra sätt att fånga upp begrepp och procedurer som man kan ha missat är att gå igenom en kursbok eller två. Om det finns andra konkretiseringar av kursen tillgängliga kan man förstås jämföra mot dem också.

Jämför hela tiden det du hittar mot kursplanen – det är inte säkert att något ingår i kursen bara för att det finns med i kursboken.

Exempel från matte 2b: En granskning av kursboken ger ytterligare ett par procedurer till listan: lösa exponentialekvationer grafiskt, samt skissa grafer för exponentialfunktioner. Båda dessa läggs till som övriga procedurer. Dessutom innehåller boken att avsnitt om potensfunktioner, som efter en granskning av kursplanen visar sig inte ingå i kursen (men däremot 1b). Det är användbara färdigheter när man ska lösa exponentialekvationer, så lösa potensfunktioner läggs till som en förkunskap.

Steg 4: Förtydliga begreppen och procedurerna

I det här steget gäller det att omformulera begrepp, procedurer och förkunskaper så att både lärare och elever kan förstå vad de är. I processen upptäcker man inte så sällan att någon procedur kan behöva delas upp i flera procedurer, med vissa begrepp kan slås samman eftersom det inte är meningsfullt att prata om förståelse av ett begrepp utan att samtidigt omfatta ett annat.

När du är klar med steg 4 ska både lärare och elever som läst kursen förstå namnen på begrepp, procedurer och förkunskaper.

Det här steget går som sagt ihop med steg 2 och 3, och du kommer att hoppa fram och tillbaka mellan dessa.

Exempel från matte 2b: Begreppen exponent, potens och bas slås samman till en rad, där dessutom begreppet potens läggs först (eftersom de omfattar de andra två). Proceduren lösa exponentialekvationer blir lösa exponentialekvationer algebraiskt för att markera skillnaden från grafiska lösningar. Hantera räkneregler för logaritmer begränsas till hantera räkneregler för logaritmer av en potens, eftersom kursplanen bara säger att logaritmer ingår i sammanhang av att lösa exponentialekvationer.

Steg 5: Ordna till en matris som beskriver ditt kursupplägg

Det sista steget handlar om att förvandla de ganska råa listorna till en produkt som du kan använda i ditt klassrum. Det handlar dels om att flytta runt begrepp och procedurer så att de kommer i den ordning som du vill, dels om att införa nya avsnitt som passar med hur du lägger upp kursen. Till slut handlar det också om att ge din matris ett utseende som gör det någorlunda enkelt att överblicka den – att arbeta med form och presentation snarare än innehåll.

De första två sakerna (ordning och indelning i avsnitt) kommer åtminstone delvis att blandas med steg 2–4. Det sista (form och presentation) är klokt att inte blanda in för mycket i det andra arbetet, eftersom det är svårt att hålla en konsekvent form medan man fortfarande flyttar runt innehåll.

När du är klar med steg 5 har du en relativt tilltalande matris där både lärare och elever kan få en överblick av vad som ingår i kursen, och i vilken ordning ni arbetar med innehållet.

Exempel från matte 2b:

Till slut: Konkretiseringen måste revideras

Konkretiseringen av kursplanen ligger till grund för hur både lärare och elever uppfattar kursen, och använder du konkretiseringen för bedömning spelar den ännu större roll. Därför är det viktigt att konkretiseringen förbättras mellan varje gång som den används.

Annonser

3 thoughts on “En metod för att konkretisera gymnasiets matematikkurser (renskriven)

  1. Ping: Överblick av första året | Att bli lärare

  2. Ping: Om sommarlov | Att bli lärare

  3. Ping: Planera mattekurs del 4: Listan med nödvändigheter | Att bli lärare

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s